Algunos conceptos de la Didáctica de la matemática

Una de las innovaciones, de la Didáctica fundamental respecto de la Didáctica clásica es la introducción en el estudio y análisis del papel del “saber” en los procesos de enseñanza y aprendizaje.
A partir de aquí comienzan determinadas transformaciones como en la relación binaria docente – alumno de la didáctica clásica, que pasa a ser una relación ternaria docente – alumno – saber (frecuentemente llamada “tríada didáctica”).
Del análisis de estas relaciones, surgen como objeto de estudio entre otros, el Contrato Didáctico, la Transposición Didáctica y la Teoría de Situaciones, que profundizaremos avanzando en la cursada. Respecto del contrato didáctico, un buen ejercicio personal es, a través del análisis de situaciones de una experiencia en la docencia (propia o de colegas), identificar los efectos de los distintos tipos de contrato. Esto ayuda a clarificar el concepto de cada uno de ellos: contrato escolar, contrato pedagógico o contrato didáctico.

La teoría de la transposición didáctica y la preocupación inicial de Chevallard

Chevallard distingue dos etapas en el proceso de la transposición didáctica. Atendiendo a la primera de ellas: el pasaje del saber sabio al saber a enseñar, analice el recorte realizado por una propuesta editorial (a elección) sobre geometría. (a definir contenido y destinatarios por cada uno de ustedes, explicitándolo)
En la segunda etapa se hace referencia al pasaje del saber a enseñar a saber enseñado.Respecto de las transformaciones de los saberes, las habíamos definido como objeto de estudio de la Teoría de la Transposición Didáctica propuesta por Chevallard en 1985. Son las adaptaciones y restricciones que sufren los saberes pertenecientes al campo de la Matemática (saberes sabios) al ser transformados en saberes para ser enseñandos a los alumnos (saberes a enseñar) y éstos a su vez en saberes puestos en práctica en la enseñanza (saberes enseñados).
Incorporamos el concepto de transposición interna y externa, para lo cual es necesario hacer referencia al enfoque sistémico en el cual se analiza el saber y su funcionamiento en el sistema didáctico; pero también se consideran las influencias de un sistema de enseñanza y de la noosfera.
La existencia de la transposición didáctica , es decir, la distancia entre los saberes existe y no se puede negar, no significa que ésta definitivamente influya negativamente sobre los saberes. Lo importante es buscar buenas transposiciones didácticas, lo cual implica una investigación sobre lo específico de la construcción o reconstrucción didáctica del saber y su distancia con el saber presente en las prácticas académicas.
La noción de transposición didáctica fue introducida por Yves Chevallard y ha provocado mucho interés en los especialistas en didáctica dado que es uno de los primeros en considerar los procesos de enseñanza-aprendizaje contextualizadamente. Mientras los sistemas didácticos eran considerados como díadas (profesor–alumno), él no sólo incorpora el saber al sistema didáctico sino que, además, involucra en el proceso a toda la sociedad. Su enfoque sistémico presenta esta tríada como formada por subsistemas(y no como elementos simples) y analiza el funcionamiento del sistema didáctico dentro del sistema de enseñanza y su entorno.
Su interés inicial fue el de analizar el saber como subsistema del sistema didáctico y diferenciar el saber enseñado del saber sabio, el saber de los matemáticos, ¿qué distancia hay entre ellos? En sentido estricto define la transposición didáctica como el pasaje de un contenido de saber determinado a una versión didáctica del mismo.
Cuando un investigador en matemática quiere comunicar los resultados de su investigación debe, ante todo, determinarlo. Seleccionar en el laberinto de reflexiones que elaboró, aquellas que son susceptibles de convertirse en un saber nuevo. Suprimir las huellas de los errores y presentar el saber despersonalizado, descontextualizado y destemporalizado en la medida de lo posible. Esto hace que las preguntas, las historias y las dificultades que generaron dicho conocimiento se borren. Es decir, el régimen de saber en la investigaciones se transforma en un régimen de comunicación que obliga a la organización de los conocimientos de forma tal que quien reciba dicha comunicación pueda procesarla. Pero quien recibe esa comunicación hace una nueva reorganización y descontextualización en función de lo que significa para él ese nuevo saber. En todas estas secuencias se esta haciendo la transposición didáctica.
En particular cuando se trata de la transmisión pedagógica de los saberes dentro de cada sistema didáctico, la transposición didáctica es uno de los requisitos para que estos sistema constituidos por el saber, el enseñante y los alumnos funcione dentro del entorno social.
Chevallard plantea que, alrededor del sistema de enseñanza(constituido a su vez por los sistemas didácticos) existe la noosfera, que es el primer tamiz donde opera la interacción entre el sistema didáctico y el contexto sociocultural. Por ser, el sistema didáctico, un sistema abierto exige una compatibilización con su medio.

“El proceso de designación de los contenidos de saber-el saber erudito de los matemáticos –como contenidos a enseñar, nace del proyecto social de enseñanza . Chevallard sostiene que el saber no lleva en sí mismo la finalidad de ser enseñado sino solamente la necesidad de ser utilizado. Es la sociedad la que requiere que una parte del saber científico se lleve a la enseñanza porque supone que será de utilidad social”.
El autor pone en evidencia las características del conocimiento científico y los posibles riesgos que, estos conocimientos construidos en el campo científico, corren al convertirlos en objeto de enseñanza, por ello que incluye aquí el concepto de vigilancia epistemológica, dado que, esta vigilancia supone una mirada atenta a la distancia que existe entre el saber sabio y el saber enseñado, con el propósito de evitar deformaciones en el proceso de sucesivas transposiciones a que está sometido el saber desde que es adaptado y transformado en un campo disciplinar específico. El saber enseñado debe ser visto por los académicos como cercano al saber académico para no minar su legitimidad. Y, por otro lado debe estar suficientemente lejos del saber de los padres, el saber banalizado de la sociedad, para que se justifique que sea parte del proyecto de enseñanza.
Pueden distinguirse la transposición en dos niveles de concreción:
Externa: la realizada en la noosfera, fuera del sistema didáctico. Es el proceso de designación del objeto del saber como objeto a enseñar. Donde nace el proyecto social de enseñanza.
En este nivel se puede ejemplificar con la construcción del diseño curricular de una Nación cuando se decide cuáles van a ser los contenidos matemáticos que se prescriben como básicos. Esto da lugar a una variada cantidad de textos que apuntan a capacitar a los docentes y a colaborar a través de recomendaciones metodológicas.
Interna: la realizada dentro del sistema de enseñanza, efectuada por los actores de este sistema y se desarrolla después de la introducción oficial de elementos de saber en el sistema.
La ejemplificación más próxima es la del maestro que prepara su clase para trabajar las expresiones algebraicas equivalentes y crea un objeto didáctico, una balanza en la que coloca las expresiones a ambos lados de la igualdad. El maestro utiliza sus esquemas teóricos y las características del grupo para organizar un modo de acercar el saber a enseñar: la significatividad dentro de la ciencia, el interés que despierta en los alumnos, la adecuación a sus niveles de comprensión, su utilidad, sus expectativas de logro. Pero además una vez que pone en marcha su clase surgen diferencias propias de la imprevisibilidad que caracteriza las relaciones en el aula. Por eso Chevallard afirma que el texto del saber nunca esta totalmente escrito en ninguna parte.
Una buena transposición consiste para Chevallard en:
“Una búsqueda para delimitar ventajosamente la génesis socio histórica de los saberes, es decir, es como construir una epistemología artificial que sea su resumen mejorado.”

La corriente francesa
En los últimos años se ha ido destacando, principalmente en Francia, un grupo -donde sobresalen los nombres de Brousseau, Chevallard y Vergnaud- que realiza una reflexión teórica sobre el objeto y los métodos de investigación específicos en didáctica de la matemática.
Este conjunto de investigadores son los que contribuyen a una concepción que presenta dos caracteres diferenciales respecto de otros enfoques: concepción global de la enseñanza, estrechamente ligada a la matemática y a teorías específicas de aprendizaje, y búsqueda de paradigmas propios de investigación, en una postura integradora entre los métodos cuantitativos y cualitativos.
Como característica de esta línea puede citarse el interés por establecer un marco teórico original, desarrollando sus propios conceptos y métodos y considerando las situaciones de enseñanza y aprendizaje globalmente. Los modelos desarrollados comprenden las dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas y tratan de tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre el saber, los alumnos y el profesor, dentro del contexto particular de la clase.

La Teoría de las Situaciones
El primer concepto creado por G. Brousseau es el de la Teoría de las Situaciones. Aquí presentamos una síntesis de sus principales conceptos, en palabras de su autor.
“(…) la búsqueda y la invención de situaciones características de los diversos conocimientos matemáticos enseñados en la escuela, el estudio y la clasificación de sus variantes, la determinación de sus efectos sobre las concepciones de los alumnos, la segmentación de las nociones y su organización en procesos de aprendizaje largos, constituyen la materia de la didáctica de las matemáticas y el terreno al cual la teoría de las situaciones provee de conceptos y de métodos de estudio. Para los profesores como para los alumnos, la presentación de los resultados de estos trabajos renueva su conocimiento así como la idea que tienen de las matemáticas, y esto incluso si es necesario desarrollar todo un vocabulario nuevo para vincular las condiciones en las que emergen y se enseñan las nociones matemáticas básicas, con la expresión de dichas nociones en la cultura matemática clásica.”
Quienes comparten esta concepción de la didáctica relacionan todos los aspectos de su actividad con las matemáticas basándose en que el estudio de las transformaciones de la matemática, bien sea desde el punto de vista de la investigación o de la enseñanza, siempre ha formado parte de la actividad del matemático.
En la Teoría de Situaciones Didácticas se define que una situación didáctica es un conjunto de relaciones explícita y/o implícitamente establecidas entre un alumno o un grupo de alumnos, algún entorno (que puede incluir instrumentos o materiales) y el profesor, con un fin de permitir a los alumnos aprender -esto es, reconstruir- algún conocimiento. Las situaciones son específicas del mismo.
Para que el alumno “construya” el conocimiento, es necesario que se interese personalmente por la resolución del problema planteado en la situación didáctica. En este caso se dice que se ha conseguido la devolución de la situación al alumno.
El proceso de resolución del problema planteado se compara a un juego de estrategia o a un proceso de toma de decisiones.
Generar una situación didáctica implica que el alumno se sienta involucrado tal como nos muestra este video

Los antiguos matemáticos se sentían interpelados por nuevas situaciones matemáticas que se les planteaban desde lo cotidiano. ¿Podemos generar este tipo de trabajo en el aula?

Una situación funciona de manera “a-didáctica” cuando el alumno y el maestro logran que el primero asuma el problema planteado como propio, y entre en un proceso de búsqueda autónomo, sin ser guiado por lo que pudiera suponer que el maestro espera.
Por otro lado, debido a la peculiar característica del conocimiento matemático es preciso contemplar varios tipos de situaciones:
SITUACIONES DE ACCIÓN sobre el medio, que favorecen el surgimiento de teorías (implícitas) que después funcionarán en la clase como modelos proto-matemáticos.
SITUACIONES DE FORMULACIÓN, que favorecen la adquisición de modelos y lenguajes explícitos. En estas suelen diferenciarse las situaciones de comunicación, que son aquellas que tienen dimensiones sociales explícitas.
SITUACIONES DE VALIDACIÓN que requieren de los alumnos la explicitación de pruebas y por tanto explicaciones de las teorías relacionadas, con medios que subyacen en los procesos de demostración.
SITUACIONES DE INSTITUCIONALIZACIÓN: que tienen por finalidad establecer y dar un status oficial a algún conocimiento aparecido durante la actividad de la clase. En particular se refiere al conocimiento, las representaciones simbólicas, etc., que deben ser retenidas para el trabajo posterior.

El Sistema Didáctico
Un aporte de la Teoría de las Situaciones Didácticas (TSD) al estudio de los procesos de aprendizaje de las matemáticas en el contexto escolar es la inclusión, en el clásico triángulo didáctico “maestro, alumno, saber”, de un cuarto elemento: el medio. Este es definido como el objeto de la interacción de los alumnos: es la tarea específica que deben llevar a cabo, y las condiciones en que deben realizarla, es decir, el ejercicio, el problema, el juego, incluyendo los materiales.
En una acepción un poco más amplia, el medio al que el alumno se enfrenta incluye también las acciones del maestro, la consigna que da, las restricciones que pone, las informaciones y las ayudas que proporciona, y podríamos agregar, las expectativas que tiene sobre la acción de los alumnos y que mediante mecanismos diversos, transmite. Además está el mundo exterior a la escuela, en el que se hallan la sociedad en general, los padres, los matemáticos, etc. Pero, entre los dos, debe considerarse una zona intermedia, la NOOSFERA, que, integrada al anterior, constituye con él el sistema didáctico en sentido amplio y podríamos definir como “la capa exterior que contiene a todas las personas que en la sociedad piensan sobre los contenidos y métodos de enseñanza”.
Estos conceptos tratan de describir el funcionamiento del sistema de enseñanza como dependientes de ciertas restricciones y elecciones. Además intentan identificar dichas restricciones y poner de manifiesto cómo distintas elecciones producen modos diferentes de aprendizaje.

Los problemas y las matemáticas
Brousseau, en su Teoría de las Situaciones Didácticas, planteaba que enseñar un conocimiento matemático concreto es hacer posible que los alumnos desarrollen con dicho conocimiento (por ejemplo, los números decimales) una actividad matemática en el sentido en que él mismo precisa: “Una buena reproducción, por parte del alumno, de la actividad matemática exige que este intervenga en la actividad matemática, lo cual significa que formule enunciados y pruebe proposiciones, que construya modelos, lenguajes, conceptos y teorías, que los ponga a prueba e intercambie con otros, que reconozca los que están conformes con la cultura matemática y que tome los que le son útiles para continuar su actividad”. Por lo tanto si adherimos a estas conceptualizaciones de aprender y enseñar matemática, será necesario organizar para los alumnos situaciones matemáticas en las que puedan desarrollar las tareas planteadas, para construir el conocimiento deseado, es decir, enfrentarse a situaciones donde el conocimiento al que se apunta sea la solución óptima.
Si se pretende que los alumnos hagan matemática en forma un tanto similar a la de los matemáticos, será necesario organizar para ellos situaciones problemáticas inherentes al conocimiento.
Parece existir un consenso generalizado sobre la importancia de la resolución de problemas tanto en la matemática como en su enseñanza, sin embargo, esta actividad está lejos de poseer un único significado.
Una reflexión sobre la complejidad de enseñar matemática a cargo de Miguel de Guzmán se puede leer en

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Les propongo que analicen este texto teniendo en cuenta
TEXTO
a) ¿A qué modelo de enseñanza de la matemática corresponde?
b) ¿Cuál es el enfoque de enseñanza de la numeración?
c) Aspectos positivos y negativos para el uso en el aula

Número y operaciones
Les propongo a la luz de la Didáctica Fundamental la lectura y análisis de las propuestas didácticas que les presento a continuación:
Numero-operaciones

Numero y operaciones2

3matema_operaciones

TRABAJO PRÁCTICO 1º CUATRIMESTRE
Queridos alumnos les dejo las consignas del trabajo, cuando volvemos del receso lo tienen que entregar.

Leer el documento 4 de la Ciudad de Buenos Aires (solamente el punto II)
a) ¿Qué es un campo multiplicativo?
b) ¿Cuáles son los problemas que enmarca dicho campo?
c) ¿Cómo trabajar las estrategias de cálculo de los alumnos para llegar al algoritmo tradicional?
d) Proponer distintos problemas para trabajar en el aula. (Como mínimo 7)

ENSEÑANZA DE LA PROPORCIONALIDAD
Revisaremos en esta clase la enseñanza de la proporcionalidad en la Escuela Primaria
Para comenzar les dejo este video

Luego de ver y analizar el video
a) Piensen en qué grado pueden utilizarlo.
b) Lean el Diseño Curricular y busquen los lineamientos didácticos para la enseñanza de la proporcionalidad.
c) Busquen en libros de texto diferentes propuestas didácticas a la luz del Diseño curricular.
d) Resuelvan estos problemas:

ActividadesPROPORCIONALIDAD

LA ENSEÑANZA DE LAS FRACCIONES
Con respecto a las fracciones, comenzamos con dos videos.

¿Porqué enseñamos fracciones en la Escuela Primaria?

Analicen los siguientes juegos que se utilizan para la enseñanza de las fracciones y luego propongan 2 creados por ustedes.
PÁGINA DE JUEGOS

LOS DECIMALES Y EL DINERO

Bibliografía de lectura obligatoria
Lee el Documento 4 de Ciudad de Buenos Aires y Secuencia de decimales. Les dejo el link para que puedan bajarlos.

Documentos de Ciudad de Buenos Aires

Acerca de los números decimales: una secuencia posible

Analicen el tratamiento de las fracciones en este libro de texto de 6º grado de la Escuela Primaria de México y compárenlo con el tratamiento en el texto de Estudiar matemática de Claudia Broitman de Editorial Santillana, también de 6º grado

LIBRO

Las Fracciones PLAN CEIBAL