Conocimiento común del contenido: Refiere al conocimiento puesto en juego para resolver problemas matemáticos, para lo cual un matemático, o incluso un sujeto adulto con suficiente conocimiento, está capacitado.

Conocimiento especializado del contenido: Refiere, por ejemplo, a realizar un ordenamiento de las secuencias con que podrían desarrollarse los diferentes aspectos de un contenido específico.

Conocimiento en el horizonte matemático: Se trata de conocimiento que aporta perspectiva a los profesores para su trabajo. El profesor debiera tener un conocimiento más avanzado del contenido específico que le lleve a plantearse cuestiones tales como: ¿Puede tener consecuencias matemáticas conflictivas algo que se ha dicho de manera explícita o implícita?; ¿Es esto interesante e importante desde el punto de vista matemático? ¿Hay alguna desviación en las ideas matemáticas tratadas?

Conocimiento del Contenido y los Estudiantes: Refiere al conocimiento del contenido que se entrelaza con el conocimiento de cómo los estudiantes piensan, saben, o aprenden este contenido particular. Incluye el conocimiento de los errores y dificultades comunes, las concepciones erróneas, las estrategias utilizadas, el ser capaz de valorar la comprensión del alumno y saber cómo evoluciona su razonamiento matemático.

Conocimiento del Contenido y la Enseñanza: Resulta de la integración del contenido matemático con el conocimiento de la enseñanza de dicho contenido. Incluye saber construir, a partir del razonamiento de los estudiantes y las estrategias utilizadas por ellos, procesos pertinentes para tratar y corregir sus errores y concepciones erróneas.

Si prestamos atención a la descripción de estos dos últimos conocimientos que se le piden al profesor, notarás que se habla de conocimiento de los errores y dificultades de los alumnos.

Imaginemos que estamos tomando un examen de Matemática a un alumno de secundaria y queremos determinar si sabe realizar algunas operaciones básicas entre números. Le proponemos una división de fracciones y la realiza del siguiente modo (en la nube te incluimos lo que este hipotético alumno piensa al respecto).


¿Se lo darías por válido al ejercicio? ¿qué ha ocurrido? No lo ha hecho como esperábamos ¿verdad? Pero, ¿es un error del alumno?

Podríamos pensar que ha tenido suerte de principiante y este ejercicio puntual ayudó para que su procedimiento fuese válido. Ante la duda, le podríamos proponer otro ejercicio donde no se encuentren las condiciones que tiene este último. El alumno lo resuelve del siguiente modo:

¿Te sorprendió? ¿qué opinás? ¿es válido este procedimiento que se está usando? ¿es un error del alumno o uno nuestro en pensar que sólo hay una forma de dividir números racionales? ¿te pusiste a pensar por qué le enseñamos a dividir fracciones “multiplicando cruzado” y no “dividiendo derecho”? ¡Esto es conocimiento en el horizonte matemático!

Todos estos conocimientos se nos pide que tengamos como profesores, y como si fuera poco, le tenemos que agregar las competencias digitales….Reflexionaremos y profundizaremos estos temas. ¡Manos a la obra!

Forma de pensar nuestras clases
Proponer problemas para aprender estrategias de resolución y formas de pensar matemáticas buscando que los problemas se asemejen a los que aparecen en el mundo real o los que se les presenta a un matemático cuando está “haciendo matemática”.

Sabemos que los problemas del mundo real no son precisamente ejercicios prefabricados con procedimientos y números de fácil resolución como nos acostumbró la escuela durante años. De todos modos, los problemas que permiten a los estudiantes experimentar situaciones con números no tan amigos, donde a veces sobra o falta información, o que tienen múltiples soluciones, casualmente suelen ser los que mejor preparan para resolver problemas que probablemente lleguen a encontrarse en la vida diaria. En este contexto, solemos decir que estamos “haciendo Matemática en el aula”, pero ¿qué sería hacer Matemática en el aula? ¿te parece que es posible hacer Matemática en el aula? ¿has implementado alguna propuesta en este sentido?.

Las tendencias actuales sugieren que las situaciones problemáticas que se diseñen para la clase de Matemática, debieran plantearse abiertas y con interrogantes que estimulen la participación de los estudiantes, llevándolos a la acción, y a construir el nuevo conocimiento mediante la interacción entre el que ya se posee y los que surgen del tratamiento de actividades relevantes para su práctica. Asimismo, los problemas debieran ser presentados en contextos adecuados, facilitando su evolución hacia formas más elaboradas y coherentes con las propuestas educativas actuales.

Entre los lineamientos curriculares, además de la resolución de problemas, se menciona la modelización matemática. Al igual que las concepciones sustentadas en torno a la resolución de problemas, los profesores concebimos la modelización matemática desde diferentes ópticas.

La modelización matemática puede ser entendida como una práctica de enseñanza que relaciona el mundo real y la Matemática. Las actividades de modelización pueden motivar el proceso de aprendizaje y ayudar a los alumnos a construir conceptos matemáticos relevantes. Pero, ¿no trabajamos con modelización con nuestros alumnos?

En principio, existe un proceso de modelización detrás de todo modelo matemático. ¿Qué es un modelo matemático? Wikipedia lo define de la siguiente manera:

Un modelo matemático se define como el producto de una abstracción de un sistema real, una forma matemática de expresar declaraciones y/o proposiciones sustantivas de hechos o de contenidos simbólicos, están implicadas variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones (Carlos Lozares). El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.

Esto significa que de manera implícita o explícita se ha recorrido un proceso para establecer una relación entre alguna idea matemática y una situación real. Blomhoj y Hojgaard Jensen[1] describen un proceso de modelización matemática a través de 6 sub-procesos:

- Se formula un problema, más o menos explícito, que guía la identificación de ciertas características de la realidad percibida que será modelizada.
- Se hace una selección, o sistematicación, de los objetos relevantes y sus relaciones para hacer posible una representación matemática.
- Se traduce esos objetos y relaciones al lenguaje matemático.
- Se usan métodos matemáticos para arribar a resultados también matemáticos y conclusiones pertinentes al caso.
- Se interpretan los resultados y conclusiones considerando el dominio de investigación inicial.
- Se evalúa la validez del modelo por comparación con datos (observados o predichos) y/o con el conocimiento teórico o por experiencia personal o compartida.

El proceso de modelización no debemos entenderlo como lineal, sino más bien, como un proceso cíclico donde las reflexiones sobre el modelo y la intención de uso de éste, conduce a una redefinición del modelo.

(Extraído del curso del INFD)

¿Cómo se trabaja en matemática?

Jean Pierre Bourguignon, en una conferencia titulada “Los desafíos de la matemática en la sociedad actual”, reflexiona sobre esta pregunta. También Chevallard, Bosch y Gascón se la plantean y desarrollan ejemplos que permiten comprender sus posturas.

Un aspecto esencial de la actividad matemática consiste en construir un modelo matemático de la realidad que se quiere estudiar, trabajar con dicho modelo e interpretar los resultados obtenidos en ese trabajo para contestar a las cuestiones planteadas inicialmente. Gran parte de la actividad matemática puede identificarse con una actividad de modelización matemática.

Veamos un ejemplo simple, en un contexto intra-matemático que permite entender, en parte, la construcción de modelos en matemática.

Todos conocen el algoritmo de la división, es decir, una serie de pasos que permiten encontrar el resultado de dividir un número por otro. Y también se conocen ciertas propiedades que cumple esta operación.

Se puede pensar en este problema:

“Inventar una división cuyo resto sea 200 y que se pueda calcular mentalmente”.

Un ejemplo de división que puede ser realizada mentalmente es 200:50 = 4. Para responder a la consigna dada, se podría pensar en 500/3, da 100 y sobran 200, dado que 100 x 3 es 300 más los 200 de resto da los 500. ¿Está bien? No, porque el resto de una división no puede ser mayor que el divisor, por lo tanto se tendrá que buscar un divisor más grande que 200, por ejemplo 300. ¿Qué número se podría dividir por 300 para que quede como resto 200? Por ejemplo, 500/300 da 1 y sobran 200, que ya no se puede seguir dividiendo.

Esta es una respuesta a la tarea demandada, pero ¿es posible encontrar varias respuestas? ¿Si se siguiera trabajando con 300 como divisor? ¿Habrá otra división cuyo divisor sea 300 y que tenga resto 200? Sí, es suficiente tomar cualquier número como cociente (por ejemplo 3) y calcular el dividendo: 300 x 3 más el resto (200) será el dividendo, o sea 1100. De esta manera se podrán encontrar varias divisiones, con números fáciles de calcular mentalmente y que cumplan la condición de producir un resto igual a 200. Por lo tanto, se ha armado un modelo de la situación.
La expresión D = 300 x d + 200 permite generar muchas soluciones, asignando a n valores naturales. Y en general D= dxq + r, 0<=r

¿Para qué podría servir un problema como este? Para determinar para qué puede servir es importante pensar cuáles conocimientos tienen que poner en juego los alumnos para resolverlo. Una primera constatación es que el resto tiene que ser efectivamente menor que el divisor. No es solamente una definición aprendida de memoria sino que hay que usarla efectivamente para resolver el problema planteado.

Por otra parte, este problema pone en juego las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto y les hace jugar un verdadero papel de herramientas para resolver problemas y no solamente para realizar la prueba de la división.

Imágenes que nos hacen pensar…

Las TICS copmo herramientas para el aprendizaje

Las tic´s como herramienta en los procesos educativos from jarecag

Investigamos otros modelos de enseñanza.

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